Brahmagupta

Brahmagupta foi um matemático e astrônomo da Índia. Morou a maior parte de sua vida em Bhillamala (atual Bhinmal) no império de Harsha. Como resultado, Brahmagupta é frequentemente referido como Bhillamalacarya, "o professor de Bhillamala Bhinmal". Ele foi o líder do observatório astronômico em Ujjain, e durante seu período lá escreveu quatro textos sobre matemática e astronomia: Brahmasphutasiddhanta, Cadamekela, Durkeamynarda e Khandakhadyaka, ele também é considerado o pai da aritmética, da álgebra e da análise numérica. A aritmética moderna usada atualmente espalhou-se pela Índia e Arábia e então para a Europa. Seu trabalho teve impacto significativo nas construções matemáticas. Brahmagupta popularizou o conceito do zero, e definiu regras para a aritmética com números negativos e com o zero, que são próximas ao entendimento atual da matemática moderna.

A Compreensão de Brahmagupta, dos sistemas de número foi muito além dos outros do período. No Brahmasphutasiddhanta ele definiu zero como o resultado da subtração de um número de si mesmo. Ele deu algumas propriedades como segue:

Quando zero é adicionado a um número ou subtraído de um número, o número permanece inalterado, e um número multiplicado por zero torna-se zero.

Ele também dá as regras aritméticas em termos de fortunas (números positivos) e dívidas (números negativos):

A dívida menos zero é uma dívida.

Uma fortuna menos zero é uma fortuna.

Zero menos zero é um zero.

A dívida subtraída do zero é uma fortuna.

Uma fortuna subtraída do zero é uma dívida.

O produto de zero multiplicado por uma dívida ou fortuna é zero.

O produto é multiplicado zero zero zero.

O produto ou quociente de duas fortunas é uma fortuna.

O produto ou quociente de duas dívidas é uma fortuna.

O produto ou quociente de uma dívida e uma fortuna é uma dívida.

O produto ou quociente de uma fortuna e uma dívida é uma dívida.

 A maior divergência é que Brahmagupta tentou definir a divisão por zero, uma situação considerada inexistente na matemática moderna. Sua definição de zero como um número era acurada exceto que ele considerava 0/0 igual a 0, sendo que considera-se atualmente que essa quantidade não pode ser definida.

Além da invenção do zero, Brahmagupta também contribuiu para outros ramos da matemática:

Álgebra

Como a álgebra de Diofanto, a álgebra de Brahmagupta foi sincopado. Além disso, foi indicado, colocando lado a lado os números, subtração, colocando um ponto sobre o subtraendo e divisão, colocando o divisor abaixo do dividendo, semelhante à nossa notação, mas sem o bar. Quantidades evolução multiplicação, e desconhecidos foram representados por abreviaturas de termos apropriados.

Aritmética

Quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão) eram conhecidas por muitas culturas antes de Brahmagupta. Este sistema atual é baseado no sistema de numeração hindu árabe e apareceu pela primeira vez em Brahmasputa siddhanta. Brahmagupta descreve a multiplicação como assim "o multiplicando é repetido como uma corda para o gado, como muitas vezes, pois há partes integrantes do multiplicador e é repetidamente multiplicada por eles e os produtos são somados. É a multiplicação. Ou o multiplicando é repetido quantas vezes existem componentes no multiplicador ". [ 7 ] Mas os métodos sumerian foram pesados ​​e difiicult como o método grego e não usamos hoje. Indian aritmetic era conhecido na Europa Medieval como "Modus Indoram" método significado dos índios. Em BrahmasputhaSiddhanta, Multiplicação foi nomeado Gomutrika. No início do capítulo doze de seus Brahmasphutasiddhanta, intitulado Cálculo, as operações de Brahmagupta detalhes sobre frações. O leitor é esperar para saber as operações aritméticas básicas, tanto quanto tomar a raiz quadrada, embora ele explique como encontrar o cubo e cubo-raiz de um número inteiro e depois dá regras facilitar o cálculo de quadrados e raízes quadradas.

Geometria

Resultado mais famoso Brahmagupta em geometria é a sua fórmula para quadriláteros cíclicos. Dado os comprimentos dos lados de qualquer quadrilátero cíclico, Brahmagupta deu uma aproximada e uma fórmula exata para a área da figura.

12.21. A área aproximada é o produto das metades das somas dos lados e lados                          opostos de um triângulo e um quadrilátero. A [área] precisa é a raiz quadrada do produto das metades das somas dos lados diminuíram [cada] lado do quadrilátero.

Medidas e construções

Em alguns dos versos antes do versículo 40, Brahmagupta dá construções de várias figuras com lados arbitrários. Ele essencialmente manipulados triângulos direito de produzir triângulos isósceles, escaleno triângulos, retângulos, trapézios isósceles, trapézios isósceles com três lados iguais, e uma cíclica escaleno quadrilátero.

Depois de dar o valor de pi, ele lida com a geometria de figuras planas e sólidos, tais como encontrar volumes e áreas de superfície (ou espaços vazios escavados de sólidos). Ele encontra o volume de prismas retangulares, pirâmides, e o tronco de uma pirâmide quadrada. Ele ainda encontra a profundidade média de uma série de pits. Para o volume de um tronco de uma pirâmide, ele dá o valor “pragmático”, como a profundidade vezes o quadrado da média das bordas das faces superior e inferior, e ele dá o volume "superficial", como os tempos profundidade de sua média área.

Trigonometria

Aqui Brahmagupta usa nomes de objetos para representar os dígitos do lugar-valor numerais, como era comum, com dados numéricos em sânscrito tratados. Progenitores representa os 14 Progenitores ("Manu") em Indian cosmologia ou 14, "gêmeos" significa 2, "Ursa Maior" representa as sete estrelas da Ursa Maior ou 7, "Vedas" refere-se à Vedas 4 ou 4, dados representa o número de lados da tradição morrer ou 6, e assim por diante. Esta informação pode ser traduzida para a lista dos senos, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263 e 3270, com o raio sendo 3270.